「ちょっと面白い絶対値のグラフ」

先日、インターネット上で偶然に、「ちょっと面白い絶対値のグラフ」というpdfファイルを見つけた。 そこには、「絶対値を用いたグラフは通常折れ線のグラフになるが，なかには一部が線ではなく領域になる…」とあった。 私には初耳のことだったし、これを機に等値線を得るプログラムを改訂することになったので、ここに紹介したい。
ちょっと面白い絶対値のグラフ は個人の備忘録とかで、どんな方が書いたのかわからない。しかし数学その他の多くのものを書かれているようだ。

例として、\[ |y|+|y-1| = |x|+|x-1| \]の式があげられていた。 これをGrapesでグラフにすると、下図の左の図のようになるとある。 直線部と塗りつぶされた正方形部分が式の解である。因みに他のグラフソフトでは正確に描けなかったとある。 残念ながら、GCalc-Plus3.2の陰関数グラフでも領域は描けない。

さて、領域になる理由は、\(0 \le x \le 1,　0 \le y \le 1 \)のとき、\( y - y + 1 = x - x + 1 \)となり、 この範囲の全ての実数 \(x,y\)が解になるからである。このことはこの文書が述べている通り、3次元のグラフを描くと理解しやすい。 次の図はGCalc-Plusの陰関数表面のプロットで\( z = |y|+|y-1| - |x| - |x-1| \)を描き、等高線で表示したものである。 問題の領域は、地形でいうと平坦なテラスになっている。

正方形の領域が解になることが納得できただろうか。元の文書に付けられている3次元のグラフは少々わかりにくい。 GCalc-Plusの方がわかりやすいと思う。

「ちょっと面白い絶対値のグラフ」に触発されて、等値線を描くプログラムを見直した。 GCalc-Plus3.30からは、次の図のように描ける。領域を塗りつぶしてはいない。また、等高線のプロットでは右の図のようになる。

ついでに、「ちょっと面白い絶対値のグラフ」の後半にある式 \( |y^2 - 1|+|y^2 -4| = |x^2 - 1|+|x^2 -4| \)のグラフを描いてみた。 左からこの式の陰関数のグラフ、3次元の陰関数グラフである。なかなか面白い。