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電場と電位

高校の物理で学ぶのは、「点電荷のまわりの電場と電位」およびその重ね合わせと 平行板間のような「一様な電場と電位」に限られています。 ここでは点電荷のまわりの電場と電位を電気力線と等電位面でグラフに表して、 視覚的に理解を深めましょう。

点電荷のまわりの電位\( V \)は、点電荷の電気量\( Q \)を、電荷からの距離を\( r \)とすると次のように表されます。

\[ V = \frac{1}{4 \pi \epsilon _0} \frac{Q}{r} \]
ここで、\( \frac{1}{4 \pi \epsilon _0}= k \)は、クーロンの法則の比例定数です。 ここでは係数を略して、\( V = \frac{Q}{r} \)の式と重ね合わせの原理を使って、いろいろな状況の電気力線と等電位面を描いてみます。

1.ひとつの点電荷の場合

  • まず、原点から点\( (x,y) \)までの距離を求める関数\( r = \sqrt{x^2 + y^2} \)を定義しておきましょう。   

    1. GCalcの『計算』タブをクリックして計算ページを開きます。
    2. 計算ページの「新規」ボタンを押します。またはページの余白をクリックします。
    3. GCalc>が現れるのでその後ろに、 r[x,y] := Sqrt[x^2+y^2]と入力して、 (定義の演算子 := に注意してください)「評価」ボタンを押します。
      (または Shift + Enter キーを押します)     
    4. なにも返ってきませんが、原点からの距離を戻す関数が定義できました。     
    5. 『定義』タブをクリックして、定義の一覧を確認できます。   

  • ひとつの点電荷のまわりの電位をグラフに表します。
    1. 平面の陰関数のプロットで、 \( V = \frac{Q}{r} \) の等電位面を描きます。 \( Q = 1 \) としましょう。
    2. まずは一本だけ。 1/r[x, y] == 1 (等号が == であることに注意してください)と入力します。
    3. グラフの範囲は-2 < x <2-2 < y <2 として、実行します。
    4. つぎに、計算ページに移り、
      a = {-2.5, -2, -1.5, -1, -0.5, 0, 0.5, 1, 1.5, 2, 2.5}
      と入力します。このような数式をリストと呼びます。 (これは、 a = Table[k, {k, -2.5, 2.5, 0.5]とすることもできます)
    5. 先ほど描いた 1/r[x, y] == 1のグラフを表示させて、 ツールバーのグラフの変更をクリックします。
    6. グラフ入力ダイアログが開きます。入力欄の 1/r[x, y] == 1 1を、aに変えます。
    7. 「実行」で何本もの等心円(楕円)が描かれます。これが点電荷による等電位面です。
  • 次に、立体グラフで電位の様子を見てみましょう。
    1. 立体の陽関数のプロットで 1/r[x, y])と入力します。
    2. グラフの範囲は-2 < x <2、は-2 < y <2、 また、自動のチェックをはずして0 < z <5、とします。
    3. 「実行」でグラフが描かれます。右上のようになります。

2.正負の等しい点電荷がある場合

  • 二つの点電荷\( +Q_1 \)と\( Q_2 \)が少しはなれて点\( (x_1, 0) \)と点\((x_2, 0) \)に ある場合の電位の様子を考えましょう。 電位はスカラーですから、点\( (x,y) \)の電位は重ねあわせによって \[ V(x, y) = k\frac{Q_1}{\sqrt{(x-x_1)^2+y^2)}}+k\frac{Q_2}{\sqrt{(x-x_2)^2+y^2)}} \] と単純な和になります。等電位線の式は\( V(x,y)=const \)です。
    電気力線は正電荷から出て、等電位線に垂直に交わり負電荷へ入ります。電気力線の式\( f(x,y) = const \)は \[ f(x, y) = k\frac{Q_1(x-x_1)}{\sqrt{(x-x_1)^2+y^2)}}+k\frac{Q_2(x-x_2)}{\sqrt{(x-x_2)^2+y^2)}} = const \] と表現できます。
    正負の等しい点電荷の場合に、まず立体的な電位の様子を、次に等電位線と電気力線を描いてみましょう。
    グラフでは、\( Q_1=+1 \)を\( x_1=-1 \) に、\( Q_2=-1 \)を\( x_1=+1 \) に置くことにします。
    1. まず立体グラフで電位の様子を見てみましょう。
      \( \sqrt{(x-x_1)^2 + y^2} = r(x-x_1,y) \)なので、
      立体の陽関数のプロットで 1/r[x+1, y] - 1/r[x-1, y]と入力します。
    2. 次に、新たに平面の陰関数のプロットで等電位面を描いてみます。まずは一本だけ。
      1/r[x+1, y] - 1/r[x-1, y] == 1と入力します。
    3. グラフの変更をクリックしてから、式の 1を、aに変えます。
    4. 同じようにして、電気力線を描くことができます。
      入力は (x+1)/r[x+1, y] - (x-1)/r[x-1, y] == 1です。
    5. グラフの変更をクリックしてから、式の 1を、aに変えます。
    6. この二つを複合プロットにすると、重ねて観察できます。
    7. 正電荷の大きさだけを、\( Q_1=+3 \)にしたら、どう変化するでしょうか。

3.同じ符号の2つの点電荷がある場合

  • 点電荷の符号を同じにするだけです。電荷の大きさや位置をいろいる変えてみると面白いと思います。