スカラー場とその勾配
空間の温度や電位などは,各点の座標\(\ (x, y, z) \)に一つの実数\( f(x,y,z) \)が対応しているスカラー場です。 ここでは、土地の標高\( z \)のように平面の場合を考えます。いま、\( z=f(x, y) \)とすると、これは曲面のグラフになります。 これを「密度のプロット」でグラフにし、さらにその勾配ベクトルを「場のプロット」でグラフ化したうえで 両者を「複合グラフ」にしてみます。
下の図で、左は \( z= \sin x \cos y \)のグラフ、真ん中はその勾配を表したグラフ、右は複合プロットにしたものです。 グラフの山である赤い部分では矢印が内向きで、谷である青い部分へは矢印が外向きに向かっていることがわかります。 勾配の向きは値が大きくなる向きで、矢印はその向きを向いています。
スカラー場\( f \)の勾配は、ベクトル場になります。 その向きは\( f(x,y) \)の等位面に垂直な方向で、 大きさは\( f \)の方向微分係数の最大値です。平面の場合に数式で表すと、スカラー場\( f(x,y) \) に対し \[ \mathrm{grad} f = \nabla f = \left( \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y} \right) \] つまり、各成分が\( f \)を\( x, y \)で偏微分したものになっています。 GCalcは微分をする関数 D[Expr, x]を持っているので、簡単に記述できます。
１.関数で表す場合
\( f(x, y) = \sin x \cos y \)で表されるスカラー場の複合グラフを得る手順は次の通りです
- まず密度のグラフを作ります。
- 「新しいグラフ」をクリック。入力ウインドウで「密度」のプロットを選びます。
- 入力欄に式 \( f(x) = \sin x \cos y \)を入れます。GCalcでの入力は Sin[x]*Cos[y] です。
- 変数の範囲は\( x, y \)とも、0 < x < 3Piとします。
- 「実行ボタン」をクリックします。メイン画面に関数の大きさによって色付けられたグラフが現れます。
- 次にこの関数の勾配ベクトルを表す場のグラフを作ります。
- 「新しいグラフ」をクリック。入力ウインドウで「場」のプロットを選びます。
- 入力する式は、成分が \( \frac{\partial f}{ \partial x} \)と \( \frac{\partial f}{ \partial y} \)のリストです。
GCalcでの入力は、
{ D[ Sin[x]*Cos[y], x] , { D[ Sin[x]*Cos[y], y] } です。 - 変数の範囲は、密度のグラフと同じにします。
- 「実行ボタン」をクリックします。メイン画面に矢印で表された場のグラフが現れます。
- 次に2つのグラフをまとめて、複合グラフにします。ヘルプの「異なる種類のプロットをグラフに表示する」を参照してください。
- メイン画面の左にグラフナビがあります。そのなかのフォルダのいずれかを選択し、右クリックします。
- ポップアップメニューで、平面の複合グラフのフォルダを作成します。
- グラフを複合グラフのフォルダにドラッグ＆ドロップします。「複合グラフ」のもとに、「密度」→「場」 の順にします。
- 「複合グラフ」項目を選択すると二つのプロットが重なったグラフが表示されます。
2.点電荷による電位と電場の複合グラフを作る
点電荷のまわりの電位\( V \)は、点電荷の電気量を\( Q \)、電荷からの距離を\( r \)とすると次のように表されます。 \[ V = \frac{1}{4 \pi \epsilon _0} \frac{Q}{r} \] この\( V \)は\( r \)が小さくなると、急激に増加し\( r = 0 \)で無限大になってしまいます。このまま密度プロット すると、\( r = 0 \)の近辺だけが色が変わって見えるだけです。急激に増加するところでは、 ある値で頭打ちになればよいのですが、そんな器用なことをGCalcはできません。 そこでIf関数を使って、\( r \)が小さいところでは\( V \)の大きさを頭打ちに させてやることにしました。
また、電位\( V \)と電場\( \vec{E} \)の関には、\( \vec{E} = - \mathrm{grad}V \)の関係があります。 つまり、電場\( \vec{E} \)の向きは、勾配と逆向きです。これは電場は、正の電荷から正の電荷が受ける向きと 決められているからです。そこでここでは矢印の向きを電場の向きに合わせて、逆向きにします。
- 点電荷による電位を、定数を\( \frac{1}{4 \pi \epsilon _0} = 1 \)としたうえで、\( V = 1/r \)とします。
- こうすると、\( r = 0.2 \)で\( 1/r \) は\( 5 \)になるので、\( r = 0.2 \)以内では\( V = 5 \)と してしまいます。つまり点ではなく、半径\( r_0 = 0.2 \)の導体球の電荷になります。
- したがって、GCalcでの電位の定義式は f[x,y] := If[x^2 + y^2 < 0.2^2, 5, 1/Sqrt[x^2+y^2]]
- 計算ページに移り、上記の式を入力して、評価します。定義ページで確認します。
- 後は、１.関数で表す場合 と同じです。「密度プロット」入力はf[x,y]です。
- 「場のプロット」では{ - D[F[x,y],x], - D[F[x,y],y]}と入力します。負号に注意。
- グラフナビで「複合グラフ」のフォルダを作り、そこへ二つのグラフの項目をドラッグします。
正負のの電荷を少し離しておいた場合も、以上の手続きに従ってグラフにすることもできます。詳細はデータファイルをご覧下さい。
正負の電荷による電位と電場の複合グラフ。